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已知:Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D.(1)如图1,若CA=CB,则∠D=度;(2)如图2,若CA≠CB,求∠D的度数;(3)如图3,在(2)的条件下,AD与BC相交
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已知:Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D.
(1)如图1,若CA=CB,则∠D=______度;
(2)如图2,若CA≠CB,求∠D的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,AD与BC相交于点F,过B作BG⊥DF,过D作DH⊥BF,垂足分别为G,H,BG,DH相交于点M.若FG=2,DG=4,求BH的长.
(1)如图1,若CA=CB,则∠D=______度;
(2)如图2,若CA≠CB,求∠D的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,AD与BC相交于点F,过B作BG⊥DF,过D作DH⊥BF,垂足分别为G,H,BG,DH相交于点M.若FG=2,DG=4,求BH的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB,
∴∠CAB=∠ABC=45°,
∴∠CBE=180°-45°=135°,∠DAB=
∠CAB=22.5°,
∴∠DBE=
∠CBE=67.5°
∴∠D=∠DBE-∠DAB=45°;
(2)∵∠CBE是Rt△ABC的外角
∴∠CBE=90°+∠CAB
又∵AD平分∠CAB,BD平分∠CBE
∴∠BAD=
∠CAB,∠DBE=
∠CBE=∠DAB+45°
又∵∠DBE=∠DAB+∠D
∴∠D=45°
(3)∵∠ADB=45°,BG⊥DF
∴BG=DG=4
在Rt△BGF中,BF=
=2
,
∵BG⊥DF,DH⊥BF
∴∠DFB+∠FDH=∠DFB+∠FBG=90°
∴∠FDH=∠FBG
又∵∠BGF=∠DHF=90°
∴△DHF∽△BGF
∴
=
∴FH=
,BH=
∴∠CAB=∠ABC=45°,
∴∠CBE=180°-45°=135°,∠DAB=
1 |
2 |
∴∠DBE=
1 |
2 |
∴∠D=∠DBE-∠DAB=45°;
(2)∵∠CBE是Rt△ABC的外角
∴∠CBE=90°+∠CAB
又∵AD平分∠CAB,BD平分∠CBE
∴∠BAD=
1 |
2 |
1 |
2 |
又∵∠DBE=∠DAB+∠D
∴∠D=45°
(3)∵∠ADB=45°,BG⊥DF
∴BG=DG=4
在Rt△BGF中,BF=
GF2+GB2 |
5 |
∵BG⊥DF,DH⊥BF
∴∠DFB+∠FDH=∠DFB+∠FBG=90°
∴∠FDH=∠FBG
又∵∠BGF=∠DHF=90°
∴△DHF∽△BGF
∴
FH |
GF |
DF |
BF |
∴FH=
6 |
5 |
5 |
4 |
5 |
5 |
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