在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，另一个正方形OHIG绕点O旋转（如图），设OH与边BC交于点E（与点B、C不重合），OG与边CD交于点F．（1）求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，四

Question

在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，另一个正方形OHIG绕点O旋转（如图），设OH与边BC交于点E（与点B、C不重合），OG与边CD交于点F．

（1）求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，四边形OECF的面积是否会变化？若没有变化，求它的面积；若有变化，请简要说明理由；
（3）联结EF交对角线AC于点K，当△OEK是等腰三角形时，求∠DOF的度数．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC∠BOC=90°，
∠OBE=∠OCF=45°，
∵四边形OHIG是正方形，
∴∠GOH=90°，
∴∠EOC+∠COF=90°，
∵∠EOC+∠BOE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中∠

∠OBE=∠OCF

OB=OC

∠BOE=∠COF

，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF；

（2）四边形OECF的面积没有变化，
由（1）得：△BOE≌△COF
∴S_{四边形OECF}=S_△OEC+S_△COF=S_△OEC+S_△BOE=S_△BOC，
易知：S_△BOC=(1)/(4)S_{正方形ABCD}，
∵S_{四边形ABCD}=2²=4，
∴S_△BOC=(1)/(4)S_△BOC=(1)/(4)×4=1，
即：四边形OECF的面积没有变化；

（3）连接EF交AC于K，
由（1）得：∠EOK=∠DOF，OE=OF，
又∠GOH=90°，即△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEK=45°，
当OE=OK，显然不成立；
当KE=KO，即∠KEO=∠EOK=∠DOF=45°，
当EO=EK，即∠DOF=∠EOK=(180°-45°)/(2)=67.5°，
故当△OEK是等腰三角形时，∠DOF的度数是45°或67.5°．