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计算三重积分∫∫∫(x+y+z)dv,其中Ω是由平面z=h及曲面x^2+y^2=z^2(h>0)所围成的区域
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计算三重积分∫∫∫(x+y+z)dv,其中Ω是由平面z=h及曲面x^2+y^2=z^2(h>0)所围成的区域
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答案和解析
原式=∫dθ∫rdr∫(rcosθ+rsinθ+z)dz (作柱面坐标变换)
=∫dθ∫r[h^2/2+h(cosθ+sinθ)r-(cosθ+sinθ+1/2)r^2]dr
=∫dθ∫[h^2r/2+h(cosθ+sinθ)r^2-(cosθ+sinθ+1/2)r^3]dr
=∫h^4[1/8+(cosθ+sinθ)/12]dθ
=h^4(π/4)
=πh^4/4.
=∫dθ∫r[h^2/2+h(cosθ+sinθ)r-(cosθ+sinθ+1/2)r^2]dr
=∫dθ∫[h^2r/2+h(cosθ+sinθ)r^2-(cosθ+sinθ+1/2)r^3]dr
=∫h^4[1/8+(cosθ+sinθ)/12]dθ
=h^4(π/4)
=πh^4/4.
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