已知抛物线y=ax2-x+c过点A(-6,0),与Y轴交与点B,顶点为D,对称轴是直线x=-2（1）求此抛物线的表达式及点D坐标（2）联结DO,求证：∠AOD=∠ABO（3）点P在y轴上,且△ADP与△AOB相似,求点P坐标.（求此题解

Question

已知抛物线y=ax2-x+c过点A(-6,0),与Y轴交与点B,顶点为D,对称轴是直线x=-2
（1）求此抛物线的表达式及点D坐标
（2）联结DO,求证：∠AOD=∠ABO
（3）点P在y轴上,且△ADP与△AOB相似,求点P坐标.（求此题解析,分类讨论时请标清楚）

Answer 1

（1）由题意,得,0=36a+6+c
-b/2a=-1
解之得,a=-1/4,b=-1,c=3
所以 y=-1/4x^2-x+3
顶点D（-2,4）
如图,B（0,3）
tan∠AOD=4/2=2,tan∠ABO=6/3=2
所以 ∠AOD=∠ABO
因为△AOB为直角三角形,且OA:OB=2:1
①所以点D不可能为直角顶点
②当点A为直角顶点时,AD⊥AP
因为AD=4√2,∠DAO=45°
所以∠PAO=45°
所以OP=OA=6
所以点P的坐标为（0,-6）
③当AD为直角△ADP的斜边时,∠APD=90°
过D做DH⊥y轴,垂足为H
设点P的坐标为（0,m）
则OP=m,PH=4-m
因为∠APD=90°
所以∠DPH+∠APO=90°
因为∠PAO+∠APO=90°
所以∠DPH=∠PAO
所以Rt△DPH∽Rt△PAO
所以DH:PH=OP:OA
所以 2：（4-m）=m：6
所以m^2-4m+12=0
因为△=（-4）^2-4×1×12