(2011•香洲区一模)如图(1),抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).[图(2)、图(3)为解答备用图](1)k=,点A的坐标为,点B的坐标为;(2)设抛物
(2011•香洲区一模)如图(1),抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).[图(2)、图(3)为解答备用图]
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(1)k=______,点A的坐标为______,点B的坐标为______;
(2)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
答案和解析
(1)由于点C在抛物线的图象上,则有:k=-3;
∴y=x
2-2x-3;
令y=0,则x
2-2x-3=0,
解得x=-1,x=3,
∴A(-1,0),B(3,0);
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533727823-4735.jpg)
故填:k=-3,A(-1,0),B(3,0);
(2)抛物线的顶点为M(1,-4),连接OM;
则△AOC的面积=
AO•OC=×1×3=,
△MOC的面积=OC•|xM|=×3×1=,
△MOB的面积=OB•|yM|=×3×4=6;
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9;
(3)设D(m,m2-2m-3),连接OD;
则0<m<3,m2-2m-3<0;
且△AOC的面积=,△DOC的面积=m,△DOB的面积=-(m2-2m-3);
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=-m2+m+6=-(m-)2+;
∴存在点D(,-),使四边形ABDC的面积最大,且最大值为.
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