50.一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有（）.50.一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有（）.A.5个\x09\x09B.6个\x09\x09C.7个\x09\x09D.8个

Question

50.一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有（ ）.
50.一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有（ ）.
A.5个\x09\x09B.6个\x09\x09C.7个\x09\x09D.8个

Answer 1

.A
［解一］ ①这个数除以5余2,除以4余3,此时5+2＝4+3＝7（余数和除数的和相同）,5和4的最小公倍数是20,根据“和同取和,公倍数做周期”,此数可表示为20n+7,所以这个数除以20余7.②由于这个数除以9余7,除以20余7,9和20的最小公倍数是180,则此数可表示为180n+7.③所以这个数可能的取值是187、367、547、727、907,共5个数,选择A.
［华图名师点评一］同余问题核心口诀：余同取余,和同加和,差同减差,公倍数做周期.
［解二］ 4、5、9的最小公倍数是180,所以每180个相邻的整数中,恰好有一个数满足“除以9余7,除以5余2,除以4余3”.而三位数（100～999）共有900个整数,根据900÷180＝5,得到5个数最终满足条件,选择A.
［华图名师点评二］上述证明中的“每180个数中恰有一个数满足条件”其实是不严谨的,180作为周期,可以得到“如果A满足条件,那么A＋180也满足条件”,但前提是必须要有“A”存在.所以可能满足条件的数,一个也没有,但作为一道选择题,选项中没有0这个选项出现,所以答案就是5.
［解三］ 除以9余7的数最小的是7,而7恰恰除以5余2,除以4余3,所以我们可判断：7便是满足条件当中的一个数.而4×5×9＝180是这样的数的周期,所以满足条件的数可表示为180n+7,所以满足条件的数为187、367、547、727、907,共五个.
［华图名师点评三］这种解法叫做“试值法”,也是解决同余问题时常见的简便方法.