某厂家生产两种产品Ⅰ和Ⅱ，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品I与生产y单位的产品Ⅱ的总费用是：400+2x+3y+0.01（3x2+xy+3y2）（元）假定销售量等于生产量．求取得最大利润时，两种

Question

某厂家生产两种产品Ⅰ和Ⅱ，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品I与生产y单位的产品Ⅱ的总费用是：400+2x+3y+0.01（3x²+xy+3y²）（元）假定销售量等于生产量．求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？

Answer 1

由题意，构造利润函数
f（x，y）=10x+9y-（400+2x+3y）-0.01（3x²+xy+3y²），x＞0，y＞0，
求其对x和y的偏导数，并令它们为0，得

10−2−0.01(6x+y)＝0

9−3−0.01(x+6y)＝0

解得唯一的驻点：x=120，y=80
又对f（x，y）求二阶偏导数，得
A=f_xx（x，y）=-0.06，B=f_xy（x，y）=-0.01，f_yy（x，y）=-0.06
∴AC-B²=0.0035＞0，而A＜0
∴x=120，y=80是f（x，y）的唯一极大值点
∴x=120，y=80就是f（x，y）的最大值点