猜想是否存在某些特定的无理数,使得我们任意写下一段任意长的数字序列都能在其十进位展开中找到这个序列要补充一下,我的意思是,对于某一个特定的一个无理数而言其十进制展开中包含

Question

猜想是否存在某些特定的无理数,使得我们任意写下一段任意长的数字序列都能在其十进位展开中找到这个序列
要补充一下,我的意思是,对于某一个特定的一个无理数而言其十进制展开中包含所有的数字序列,而并非是对于每个序列去构造一个满足它的无理数
比如π的十进制展开中,从某一位开始是否会出现连续的100000个9?

Answer 1

从理论上讲,很多数都能满足.比如,一个数a开二次方,从小数后第m位开始,到第n位(n>m).
【√a*10^2n】-【√a*10^2m】*10^(n-m)
【】表示取整数.
比如a=2,那么,m=1,n=2时,有,【√200】=14,【√20000】=141
而且概率的角度上说,绝大多数无理数都可以满足这些.最常见用来截取的就是
π和自然对数e
从理论上讲,根本不排除这种情况,或许可以说,并不是所有的无理数都能做到.
我从另一个思路给你分析,不知道你接触过集合论最核心的了吗?
设集合N={x|x是自然数}
那么,每个(0,1)里的小数,我们都可以把它看做是N的一个子集,比如0.12,我们可以视它为N的子集{12}或{1,2}都可以.而无限循环的有理数,我们既可以把它看成单个元素的无限重复,也可以把它看成某些有规律但不是有理数的分法,比如,0.16161616……我们可以视组成它的N的子集为{16},也可以视它为N的无限子集{1,61,616,1616,……}.包括无理数,每个数都有许多种分法,所以可以知,(0,1)之间的全体小数和N的幂集等势.这和实数等势于自然数的幂集吻合.
而且根据无理数的定义,我们要找这种不重复数字的切分方式很容易,所以,给定一个无理数,它应当能找到其上相应的整数.比如用这种模式对小数进行切分,0.1412345……
那么,第一组切分一位整数,第一个是1,第二个是4,第三个重复了,那么就切取二位数,12,然后第四个数,也就是第五位3,跟前面一位数字不同,可以要,所以取3,接下来就取45,当然,如果中间有零,则反回前一个数,把所有的零都取掉,比如45后有零,那么这里就不取45,而取450,有几个就取几个,……如此切分,因为无理数位数是无限的,则可以保证,每个小数都能和全体整数构成一个一一映射.
反过来讲,由上述集合N的全体元素进行全排,为A(n,n),如果考虑可重复,则有,n^n,因为全体自然数的基数为阿列夫零,那么,可以知道A(n,n)和n^n等势.也就是,即使能把全体自然数全排列一遍的小数,也能和实数集合等势.可以证明,无理数中,能写出任意长数字序列的集合和实数本身等势,要远超过全体有理数.而从上面的构造也可以看出,似乎能证明,每一个无理数切分出来的集合,都有办法和全体整数的集合构成一一对应关系.这一点我还没有严格的证明,但似乎可以说,每个无理数按道理应当都能切分成,只不过,出现的位置在哪里,已经密度如何.
从这个角度讲,π中绝对该能出现你说的那么多个9.因为,那里用的切分方式导致每个数字都不重复,又是无限多个,且既有很多种切分方法又不存在重复性的切分.它至少可以证明,每个无理数都可以拆分出无限多个不重复的自然数,而且全体构成的集合是和实数集等势而不是和有理数集等势. 现在只要能证明,存在这种集合能跟自然数集一一对应,而不仅仅是它的一个无限真子集就可以了.