在线性微分方程y″+b（x）y′+c（x）y=0中，b（x）+c（x）=-1，b（x）=[1-c（x）]tanx此微分方程的通解是y=（）A.c1e-x+c2sinxB.c1e-x+c2cosxC.c1ex+c2sinxD.c1ex+c2cosx

Question

在线性微分方程y″+b（x）y′+c（x）y=0中，b（x）+c（x）=-1，b（x）=[1-c（x）]tanx此微分方程的通解是y=（　　）
A. c₁e^-x+c₂sinx
B. c₁e^-x+c₂cosx
C. c₁e^x+c₂sinx
D. c₁e^x+c₂cosx

Answer 1

由b（x）+c（x）=-1，b（x）=[1-c（x）]tanx 可得，
c（x）=(−(1+tanx))/(1−tanx)=(sinx+cosx)/(sinx−cosx)，
b（x）=-1-c（x）=(−2sinx)/(sinx−cosx)．
下面验证选项是否满足方程，只需验证表达式中两个线性无关的解是否为方程的解即可．
对于e^x，
（e^x）″+b（x）（e^x）′+c（x）e^x
=e^x -(2sinx)/(sinx−cosx)e^x+(sinx+cosx)/(sinx−cosx)e^x
=0，
故e^x是方程的解．
对于e^-x，
（e^-x）″+b（x）（e^-x）′+c（x）e^-x
=e^x +(2sinx)/(sinx−cosx)e^x+(sinx+cosx)/(sinx−cosx)e^x
=-e^x ≠0，
故e^-x不是方程的解．
对于sinx，
（sinx）″+b（x）（sinx）′+c（x）sinx
=-sinx-(2sinx)/(sinx−cosx)cosx+(sinx+cosx)/(sinx−cosx)sinx
=0，
故sinx是方程的解．
对于cosx，
（cosx）″+b（x）（cosx）′+c（x）cosx
=-cosx+(2sinx)/(sinx−cosx)sinx+(sinx+cosx)/(sinx−cosx)cosx
=(2)/(sinx−cosx)≠0，
故cosx不是方程的解．
综上，e^x与sinx是方程的线性无关的解．
由线性微分方程解的结构定理可得，
方程的通解为：
y=C₁e^x+C₂sinx．
故选：C．