甲乙下棋,每局甲获胜概率为a,乙获胜概率为b,a+b=1,当一方获胜次数比另一方多n(n为正整数时获胜,则甲获胜概率为多少?

Question

甲乙下棋,每局甲获胜概率为a,乙获胜概率为b,a+b=1,当一方获胜次数比另一方多n(n为正整数
时获胜,则甲获胜概率为多少?

Answer 1

假设在甲比乙多赢x(-n≤x≤n)盘的情况下最后获胜的概率为P(x),
当甲这时赢了,概率将变成P(x+1),此概率为a
输了,概率将变成P(x-1),此概率为b
于是有以下递推公式
P(x)=aP(x+1)+bP(x-1)可变为以下等比格式
a[P(x+1)-P(x)]=b[P(x)-P(x-1)]
再利用边界条件P(n)=1,P(-n)=0求得
P(x)=[1-(a/b)^(n-x)]/[1-(a/b)^2n)]
特别的当a=b=1/2的时候P(x)=(n+x)/2n
题目中如果开始下棋的话则x=0,于是
甲最后获胜的概率为P(0)=[1-(a/b)^n]/[1-(a/b)^2n)]
特别的当a=b=1/2时P(0)=1/2