图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处．圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B．筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中

Question

图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处．圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B．筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中．现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒．设：筒壁是光滑的，P与筒壁碰撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的．若要使P与筒壁碰撞的次数最少，问：
（1）P的速率应为多少？
（2）P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？

Answer 1

（1）粒子运动轨迹如图1所示，

设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子P带正电，其速率为v．P从小孔射入圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向，
若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的．但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出，
在此情形中，P在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧HM、MN和NH组成．现考察其中一段圆弧MN，
如图2所示．由于P沿筒的半径方向入射，OM和ON均与轨道相切，两者的夹角α=(2π)/(3)  ①
设圆弧的圆半径为r，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB=m(v2)/(r)　　②，
圆弧对轨道圆心O′所张的圆心角β=(π)/(3)　　③
由几何关系得：r=Rcot(β)/(2)　　④
由②③④解得：v=(√(3)qBR)/(m)　　⑤；
（2）P由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路程为：s=βr　　⑥，
经历时间为：t₁=(s)/(v)　　⑦
P从射入小孔到射出小孔经历的时间为t=3t₁　　⑧
由以上有关各式得：t=(πm)/(qB)；
答：（1）P的速率应为(√(3)qBR)/(m)；
（2）P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为(πm)/(qB)．