如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）连接OA，AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若

Question

如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OA，AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题意可设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1．
∵抛物线过原点，
∴0=a（0-2）²+1，
∴a＝−(1)/(4)．
故抛物线的解析式为y＝−(1)/(4)(x−2)2+1，即y＝−(1)/(4)x2+x． 

（2）如图，由抛物线的对称性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．
∵△BOP与△AOB相似，
∴∠POB=∠BOA=∠BPO．
设OP交抛物线的对称轴于C点，
∴C（2，-1），
∴直线OP的解析式为y=-(1)/(2)x，
∵抛物线与直线OP有交点，
∴-(1)/(2)x=-(1)/(4)x²+x，
解得x₁=0，x₂=6．
∴P（6，-3）．
过P作PE⊥x轴，
在Rt△BEP中，
∵BE=2，PE=3，
∴PB＝√(22+32)＝√(13)≠4．
∴PB≠OB．
∴∠BOP≠∠BPO．
∴△PBO与△BAO不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．
故在该抛物线上不存在点P，使得△OBP与△OAB相似．