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如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,
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如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒. (1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度; (2)求正方形边长及顶点C的坐标; (3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标; (4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时,OP与PQ能否相等?若 能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(1)Q(1,0)(1分)Q的图象是一条直线,且过点(11,0). 且点P运动速度每秒钟1个单位长度.(2分) (2)过点B作BF⊥y轴于点F,BE⊥x轴于点E,则BF=8,OF=BE=4. ∴AF=10-4=6. 在Rt△AFB中,AB=
过点C作CG⊥x轴于点G,与FB的延长线交于点H. ∵∠ABC=90°,AB=BC, ∴△ABF≌△BCH. ∴BH=AF=6 CH=BF=8. ∴OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12. ∴所求C点的坐标为(14,12).(4分) (3)过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥x轴于点N, 则△APM ∽ △ABF. ∴
∴
∴AM=
∴PN=OM=10-
设△OPQ的面积为S(平方单位), ∴S=
说明:未注明自变量的取值范围不扣分. ∵a=-
∴当t=-
此时P的坐标为(
(4)OP与PQ相等,组成等腰三角形,即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时, 当P在BC上时,8+
当P在CD上时,14-
即当t=
当P在BA上时,t=
∴当t=
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