如图1，△ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C．（1）求证：DE∥BC；（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F

Question

如图1，△ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C．

（1）求证：DE∥BC；
（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点F重合，记∠C=α，探究：要使∠1=∠BFH成立，∠DEF应满足何条件（可以是便于画出准确位置的条件）．直接写出你探究得到的结果，并根据它画出符合题意的图形．
（1）证明：
（2）要使∠1=∠BFH成立，∠DEF应满足___．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵∠1是△DEH的外角，
∴∠1=∠3+∠4．
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠4+∠2=180°，
∵∠3=∠C，
∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，
∴DE∥BC；

（2）分两种情况：
情况一：如图2，∵∠1是△DEH的外角，
∴∠1=∠3+∠DEF，①
∵∠BFE是△CEF的外角，
∴∠BFE=∠2+∠C，
当∠1=∠BFH时，∠1=∠2+∠C，②
由①②得，∠3+∠DEF=∠2+∠C，
∵∠3=∠C，
∴∠DEF=∠2，即EF平分∠DEC
∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立．

情况二：如图2，∵∠1是△DEH的外角，∠C=α=∠3，
∴∠1=∠3+∠DEF=α+∠DEF，①
∵∠BFE是△CEF的外角，
∴∠2=∠BFE-∠C，
当∠1=∠BFH时，∠2=∠1-∠C=（∠3+∠DEF）-∠C，
∵∠C=α=∠3，
∴∠2=α+∠DEF-α=∠DEF，②
将①、②代入∠1+∠2=180°，可得：α+∠DEF+∠DEF=180°，
∴∠DEF=90°-(α)/(2)，
∴当∠DEF=90°-(α)/(2)时，∠1=∠BFH也成立．
画图见图2．