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定义:如图(1),若分别以△ABC的三边AC,BC,AB为边向三角形外侧作正方形ACDE,BCFG和ABMN,则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形,其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形.(1
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定义:如图(1),若分别以△ABC的三边AC,BC,AB为边向三角形外侧作正方形ACDE,BCFG和ABMN,则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形,其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形.
(1)作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG,记△ABC,△DCF的面积分别为S1和S2.
①如图(2),当∠ACB=90°时,求证:S1=S2.
②如图(3),当∠ACB≠90°时,S1与S2是否仍然相等,请说明理由.
(2)已知△ABC中,AC=3,BC=4,作其外展三叶正方形,记△DCF,△AEN,△BGM的面积和为S,请利用图(1)探究:当∠ACB的度数发生变化时,S的值是否发生变化?若不变,求出S的值;若变化,求出S的最大值.
(1)作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG,记△ABC,△DCF的面积分别为S1和S2.
①如图(2),当∠ACB=90°时,求证:S1=S2.
②如图(3),当∠ACB≠90°时,S1与S2是否仍然相等,请说明理由.
(2)已知△ABC中,AC=3,BC=4,作其外展三叶正方形,记△DCF,△AEN,△BGM的面积和为S,请利用图(1)探究:当∠ACB的度数发生变化时,S的值是否发生变化?若不变,求出S的值;若变化,求出S的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,∵正方形ACDE和正方形BCFG,
∴AC=DC,BC=FC,∠ACD=∠BCF=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠DCF=90°,
∴∠ACB=∠DCF=90°.
在△ABC和△DFC中,
,
∴△ABC≌△DFC(SAS).
∴S△ABC=S△DFC,
∴S1=S2.
(2)S1=S2.
理由如下:
如图3,过点A作AP⊥BC于点P,过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q.
∴∠APC=∠DQC=90°.
∵四边形ACDE,BCFG均为正方形,
∴AC=CD,BC=CF,
∵∠ACP+∠ACQ=90°,∠DCQ+∠ACQ=90°.
∴∠ACP=∠DCQ.
在△APC和△DQC中
,
∴△APC≌△DQC(AAS),
∴AP=DQ.
∴BC×AP=DQ×FC,
∴
BC×AP=
DQ×FC
∵S1=
BC×AP,S2=
FC×DQ,
∴S1=S2;
(3)由(2)得,S是△ABC面积的三倍,
要使S最大,只需三角形ABC的面积最大,
∴当△ABC是直角三角形,即∠ACB=90°时,S有最大值.
此时,S=3S△ABC=3×
×3×4=18.
∴AC=DC,BC=FC,∠ACD=∠BCF=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠DCF=90°,
∴∠ACB=∠DCF=90°.
在△ABC和△DFC中,
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∴△ABC≌△DFC(SAS).
∴S△ABC=S△DFC,
∴S1=S2.
(2)S1=S2.
理由如下:
如图3,过点A作AP⊥BC于点P,过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q.
∴∠APC=∠DQC=90°.
∵四边形ACDE,BCFG均为正方形,
∴AC=CD,BC=CF,
∵∠ACP+∠ACQ=90°,∠DCQ+∠ACQ=90°.
∴∠ACP=∠DCQ.
在△APC和△DQC中
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∴△APC≌△DQC(AAS),
∴AP=DQ.
∴BC×AP=DQ×FC,
∴
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∵S1=
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∴S1=S2;
(3)由(2)得,S是△ABC面积的三倍,
要使S最大,只需三角形ABC的面积最大,
∴当△ABC是直角三角形,即∠ACB=90°时,S有最大值.
此时,S=3S△ABC=3×
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