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已知点O为等边△ABD的边BD的中点,现将一个∠α=120゜的角放在点O处,∠α的两边分别交直线AB、AD于E、F.(1)如图1,当点F与A重合时,求证:OE=OF,AE+AF=32AB;(2)如图2,当点F在线段AD上(
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已知点O为等边△ABD的边BD的中点,现将一个∠α=120゜的角放在点O处,∠α的两边分别交直线AB、AD于E、F.
(1)如图1,当点F与A重合时,求证:OE=OF,AE+AF=
AB;
(2)如图2,当点F在线段AD上(不与A、D重合时),上述两结论是否成立,并证明;
(3)如图3,当点F在DA的延长线上时,AE、AF、AB之间的关系式为______.
(1)如图1,当点F与A重合时,求证:OE=OF,AE+AF=
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(2)如图2,当点F在线段AD上(不与A、D重合时),上述两结论是否成立,并证明;
(3)如图3,当点F在DA的延长线上时,AE、AF、AB之间的关系式为______.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△ABD是等边三角形,
∴AB=AD=BD.∠DAB=∠ABD=∠D=60°
∵点O是BD的中点,
∴DO=BO=
BD.∠AOD=∠AOB=90°,
∴∠BAO=30°.
设AB=AD=BD=2a,
∴DO=BO=a,
∵∠AOE=120°,
∴∠E=30°,
∴∠BAO=∠E,
∴AO=EO,即FO=EO,
∵AE+AF=3a,AB=2a,
∴AE+AF=
AB.
(2)证明:如图2,过点O作OC∥AB交AD于点C,
∴∠DCO=∠A=∠DCO=∠ABD=60°,
∴∠DOC=60°,∠ACO=∠BOC=120°.
∴△CDO是等边三角形,
∴CO=DO,
∴CO=BO=AC.
∵△ABD是等边三角形,
∴AB=AD=BD.∠DAB=∠ABD=∠D=60°,
∴∠OBE=120°,
∴∠OCF=∠OBE.
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°,∠COF+∠FOB=∠BOC=120°
∴∠FOC=∠EOB.
在△COF和△BOE中,
,
∴△COF≌△BOE(ASA).
∴FC=EB.OF=OE.
∵AE+AF=AB+BE+AF,
∴AE+AF=AB+AC
设AB=AD=BD=2a,
∴DO=BO=a,
∴AB+AC=3a,
∴AB+AC=
AB,
∴AE+AF=
AB.
(3)如图3,过点O作OC∥AB交AD于点C,
∴∠DCO=∠A=∠DCO=∠ABD=60°,
∴∠DOC=60°,∠ACO=∠BOC=120°.
∴△CDO是等边三角形,
∴CO=DO,
∴CO=BO=AC.
∵△ABD是等边三角形,
∴AB=AD=BD.∠DAB=∠ABD=∠D=60°,
∴∠OBE=120°,
∴∠OCF=∠OBE.
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°,∠COF+∠FOB=∠BOC=120°
∴∠FOC=∠EOB.
在△COF和△BOE中,
,
∴△COF≌△BOE(ASA).
∴FC=EB.OF=OE.
∵AE=AB+BE,
∴AE=AB+CF,
∴AE=AB+AC+AF,
∴AE-AF=AB+AC.
∵AB+AC=
AB,
∴AE-AF=
AB.
故答案为:AE-AF=
AB.
∴AB=AD=BD.∠DAB=∠ABD=∠D=60°
∵点O是BD的中点,
∴DO=BO=
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∴∠BAO=30°.
设AB=AD=BD=2a,
∴DO=BO=a,
∵∠AOE=120°,
∴∠E=30°,
∴∠BAO=∠E,
∴AO=EO,即FO=EO,
∵AE+AF=3a,AB=2a,
∴AE+AF=
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(2)证明:如图2,过点O作OC∥AB交AD于点C,
∴∠DCO=∠A=∠DCO=∠ABD=60°,
∴∠DOC=60°,∠ACO=∠BOC=120°.
∴△CDO是等边三角形,
∴CO=DO,
∴CO=BO=AC.
∵△ABD是等边三角形,
∴AB=AD=BD.∠DAB=∠ABD=∠D=60°,
∴∠OBE=120°,
∴∠OCF=∠OBE.
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°,∠COF+∠FOB=∠BOC=120°
∴∠FOC=∠EOB.
在△COF和△BOE中,
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∴△COF≌△BOE(ASA).
∴FC=EB.OF=OE.
∵AE+AF=AB+BE+AF,
∴AE+AF=AB+AC
设AB=AD=BD=2a,
∴DO=BO=a,
∴AB+AC=3a,
∴AB+AC=
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∴AE+AF=
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(3)如图3,过点O作OC∥AB交AD于点C,
∴∠DCO=∠A=∠DCO=∠ABD=60°,
∴∠DOC=60°,∠ACO=∠BOC=120°.
∴△CDO是等边三角形,
∴CO=DO,
∴CO=BO=AC.
∵△ABD是等边三角形,
∴AB=AD=BD.∠DAB=∠ABD=∠D=60°,
∴∠OBE=120°,
∴∠OCF=∠OBE.
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°,∠COF+∠FOB=∠BOC=120°
∴∠FOC=∠EOB.
在△COF和△BOE中,
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∴△COF≌△BOE(ASA).
∴FC=EB.OF=OE.
∵AE=AB+BE,
∴AE=AB+CF,
∴AE=AB+AC+AF,
∴AE-AF=AB+AC.
∵AB+AC=
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∴AE-AF=
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故答案为:AE-AF=
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