如图1，A（0，4）、B（-2，0）、C（2，0），CM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．（1）求证：CM+CN=AB；（2）如图2，过O点作直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问PE与PF存在怎样关系并证明．

Question

如图1，A（0，4）、B（-2，0）、C（2，0），CM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．

（1）求证：CM+CN=AB；
（2）如图2，过O点作直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问PE与PF存在怎样关系并证明．

Answer 1

（1）∵∠AON+∠CON=90°，∠CON+∠ACB=90°，
∴∠AON=∠ACB，
∵A在BC的垂直平分线上，
∴AB=AC，．
∴∠ABC=∠ACB=∠AON，
在△AON和△CMB中，

∠CMB=∠ANO=90°

∠ABC=∠AON

BC=NA

，
∴△AON≌△CMB（AAS），
∴CM=AN，
∴AB=AC=AN+CN=CM+CN．
（2）作CG∥BP交EF于点G，

∵AE+BF=AB，
∴BF=EC，
在△BOF和△COG中，

∠OBF=∠OCG

BO=OC

∠BOF=∠COG

，
∴△BOF≌△COG（ASA），
∴BF=CG，
∴CG=CE，∠CEG=∠CGE，
∵BP∥GC，
∴∠CGE=∠PFE，
∵∠CEG=∠PFE，
∴PF=PE．