（2012•葫芦岛）△ABC中，BC=AC=5，AB=8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑

Question

（2012•葫芦岛）△ABC中，BC=AC=5，AB=8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．
（1）当t=0时，求点C的坐标；
（2）当t=4时，求OD的长及∠BAO的大小；
（3）求从t=0到t=4这一时段点D运动路线的长；
（4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．

Answer 1

（1）如图1，∵BC=AC，CD⊥AB，
∴D为AB的中点，
∴AD=(1)/(2)AB=4．
在Rt△CAD中，CD=√(52−42)=3，
∴点C的坐标为（3，4）；

（2）如图2，当t=4时，AO=4，
在Rt△ABO中，D为AB的中点，OD=(1)/(2)AB=4，
∴OA=OD=AD=4，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠BAO=60°；

（3）如图3，从t=0到t=4这一时段点D运动路线是弧DD₁，其中，OD=OD₁=4，
又∵∠D₁OD=90°-60°=30°，
∴

DD1

＝(30×π×4)/(180)＝(2)/(3)π；

（4）分两种情况：
①设AO=t₁时，⊙C与x轴相切，A为切点，如图4．
∴CA⊥OA，
∴CA∥y轴，
∴∠CAD=∠ABO．
又∵∠CDA=∠AOB=90°，
∴Rt△CAD∽Rt△ABO，
∴(AB)/(CA)＝(AO)/(CD)，即(8)/(5)=(t1)/(3)，
解得t₁=(24)/(5)；
②设AO=t₂时，⊙C与y轴相切，B为切点，如图5．
同理可得，t₂=(32)/(5)．
综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为(24)/(5)或(32)/(5)．