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如图,AB为半圆的直径,O为圆心,AB=6,延长BA到F,使FA=AB.若P为线段AF上的一个动点(P点与A点不重合),过P点作半圆的切线,切点为C,作CD⊥AB,垂足为D.过B点作BE⊥PC,交PC的延长线于点
题目详情
如图,AB为半圆的直径,O为圆心,AB=6,延长BA到F,使FA=AB.若P为线段AF上的一个动点(P点与A点不重合),过P点作半圆的切线,切点为C,作CD⊥AB,垂足为D.过B点作BE⊥PC,交PC的延长线于点E.连接AC、DE.
(1)判断线段AC、DE所在直线是否平行,并证明你的结论;
(2)设AC为x,AC+BE为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(1)判断线段AC、DE所在直线是否平行,并证明你的结论;
(2)设AC为x,AC+BE为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)线段AC、DE所在直线平行.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥PE,∠CPD=∠BPE,
∴Rt△PCD∽Rt△PBE,
∴
=
,
∵PC与⊙O相切于C点,PAB为⊙O的割线
∴PC2=PA×PB
∴
=
,
∴
=
,
∵∠CPA=∠EPD,
∴△CPA∽△EPD,
∴∠PCA=∠PED,
∴AC∥DE;
(2)连接BC,
∵AB为半圆直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2;
∵AC=x,AB=6
∴BC2=62-x2=36-x2,
∵PC与半圆相切于点C
∴∠BAC=∠BCE,
∵∠ACB=∠BEC=90°,
∴Rt△ABC∽Rt△CBE,
∴
=
,
∴BE=
=
,
∵y=AC+BE
∴y=x+
y=-
x2+x+6,
∵P为线段AF上动点(P点与A点不重合)
∴点P与点F重合时,AC的值最大,此时PC=
=3
,
根据三角形面积求出CD=2
,
OD=
=4,AD=6-4=2,
即AC=
=2
∴y=-
x2+x+6,其中0<x≤2
.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥PE,∠CPD=∠BPE,
∴Rt△PCD∽Rt△PBE,
∴
PC |
PB |
PD |
PE |
∵PC与⊙O相切于C点,PAB为⊙O的割线
∴PC2=PA×PB
∴
PC |
PB |
PA |
PC |
∴
PA |
PC |
PD |
PE |
∵∠CPA=∠EPD,
∴△CPA∽△EPD,
∴∠PCA=∠PED,
∴AC∥DE;
(2)连接BC,
∵AB为半圆直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2;
∵AC=x,AB=6
∴BC2=62-x2=36-x2,
∵PC与半圆相切于点C
∴∠BAC=∠BCE,
∵∠ACB=∠BEC=90°,
∴Rt△ABC∽Rt△CBE,
∴
AB |
BC |
CB |
BE |
∴BE=
BC2 |
AB |
36−x2 |
6 |
∵y=AC+BE
∴y=x+
36−x2 |
6 |
y=-
1 |
6 |
∵P为线段AF上动点(P点与A点不重合)
∴点P与点F重合时,AC的值最大,此时PC=
(6+3)2−62 |
5 |
根据三角形面积求出CD=2
5 |
OD=
62−(2
|
即AC=
(2
|
6 |
∴y=-
1 |
6 |
6 |
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