用待定系数法求二次函数的解析出方法规律（6种）

Question

用待定系数法求二次函数的解析出方法规律（6种）

Answer 1

一、三点型（一般式）
若已知二次函数图像上任意三点的坐标,则可以用标准式y= ax2 +bx+c.
例1 已知二次函数图像经过（1,0）、（-1,-4）和（0,-3）三点,求这个二次函数解析式.
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,由已知可得 ,解之得 故所求二次函数解析式为y=x2+2x-3.
二、顶点型（顶点式）
若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程和函数的最大（小）值,则可以用顶点形式y=a(x-h)2+k.
例2 已知抛物线的顶点坐标为（2,3）,且经过点（3,1）,求其解析式.
设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,由条件得1=a(3-2)2+3.
解得a=-2.
所以,抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3,即：y=-2x2+8x-5.
三、交点型（两点式）
若已知二次函数图像与x轴的两交点坐标或两交点间的距离及对称轴,则可以用交点形式y=a(x-x1)·(x-x2).
例3 已知二次函数图像与x轴交于（-1,0）、（3,0）两点,且经过点（1,-5）,求其解析式.
设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3),由条件得-5=a(1+1)(1-3).
解得a=.
故所求二次函数解析式为y=(x+1)(x-3),则y=x2—x—.
四、平移型
将二次函数图像平移,形状和开口方向、大小没有改变,发生变化的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点形式,再按照“左加右减,上加下减”的法则,即可得出所求的抛物线的解析式.
例4 将抛物线y=x2+2x-3向左平移4个单位,再向下平移3个单位,求所得到的抛物线的解析式.
函数解析式可变为y=(x+1)2-4.
因向左平移4个单位,向下平移3 个单位,所求函数解析式为y=( x+1+4)2-4-3,即y=x2+10x+18.
五、综合型
综合运用几何性质求二次解析式.
例5 如下图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若AC=20,BC=15,∠ABC=90°,求这个二次函数解析式.
在Rt△ABC中,
AB= + =25,
∵S△ABC=AC·BC=AB·OC,
∴OC===12.
∵AC2=AO·AB,
∴OA===16,
∴OB=9.
从而得A、B、C三点坐标分别为（-16,0）、（9,0）、（0,12）.
于是,利用三点型可求得函数解析式为：y=-x2-x+12.