线性代数问题证明：|1111||abcd||a²b²c²d²|=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)|a4b4c4d4|本人不会打四次方符号!两边是1条直线,问提应该看得懂吧!

Question

线性代数问题
证明：|1 1 1 1 |
|a b c d |
|a² b² c² d² |=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
|a4 b4 c4 d4 |
本人不会打四次方符号!两边是1条直线,问提应该看得懂吧!

Answer 1

用初等变换把它化成阶梯矩阵：
1.第二行减去第一行的a倍；第三行减去第一行的a^2倍；第四行减去第一行的a^3倍,得：
1 1 1 1
0 b-a c-a d-a
0 b2-a2 c2-a2 d2-a2
0 b4-a4 c4-a4 d4-a4
2.第三行减去第二行的（b+a）倍；第四行减去第二行的(b2+a2)(b+a)倍,得：
1 1 1 1
0 b-a c-a d-a
0 0 (c-a)(c-b) (d-a)(d-b)
0 0 x1 y1
其中,x1=(c-a)[(c2+a2)(c+a)-(b2+a2)(b+a)]
=(c-a)(c-b)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)
y1=(d-a)[(d2+a2)(d+a)-(b2+a2)(b+a)]
=(d-a)(d-b)(a2+b2+d2+ab+ad+bd)
3.第四行减去第三行的(a2+b2+c2+ab+ac+bc)倍,得：
1 1 1 1
0 b-a c-a d-a
0 0 (c-a)(c-b) (d-a)(d-b)
0 0 0 y2
其中,y2=(d-a)(d-b)(d-c)(a+b+c+d)
4.所以,行列式=对角线上的数相乘
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)