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已知,如图,在直角坐标系中,以y轴上的点C为圆心,2为半径的圆与x轴相切于原点O,点P在x轴的负半轴上,PA切⊙C于点A,AB为⊙C的直径,PC交OA于点D.(1)求证:PC⊥OA;(2)若△APO为
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已知,如图,在直角坐标系中,以y轴上的点C为圆心,2为半径的圆与x轴相切于原点O,点P在x轴的负半轴上,PA切⊙C于点A,AB为⊙C的直径,PC交OA于点D. (1)求证:PC⊥OA; (2)若△APO为等边三角形,求直线AB的解析式; (3)若点P在x轴的负半轴上运动,原题的其他条件不变,设点P的坐标为(x,0),四边形POCA的面积为S,求S与点P的横坐标x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (4)当点P在x轴的负半轴上运动时,原题的其他条件不变,分析并判断是否存在这样的一点 P,使S 四边形POCA =S △AOB ?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请简要说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵⊙C与x轴相切于原点O,点P在x轴上, ∴PO与⊙C相切于点O, 又∵PA切⊙C于点A, ∴PO=PA,PC平分∠APO, ∴PC⊥OA. (2)∵△APO为等边三角形, ∴∠CPO=
又∵∠POC=90°, ∴PC=2OC=2×2=4; 在Rt△POC中由勾股定理可得PO=2
作AH⊥PO于H,在Rt△AHO中,OA=OP=2
∴OH=
∴AH=3, ∴A(-
又点C(0,2), 故利用待定系数法可求得直线AB的函数解析式为y=-
(3)S 四边形POCA =2S △POC =2×
即S=-2x(x<0). (4)存在这样的一点P,其坐标为(-2,0), ∵S △AOB =2S △AOC ,S 四边形POCA =2S △POC , ∴S △AOC =S △POC , ∴PA ∥ OC; 又∵∠POC=90°, ∴∠APO=90°, ∵∠PAC=∠POC=90°, ∴四边形POCA是矩形, ∴OP=AC=2, ∴P(-2,0). |
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