如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），连接BC、AC，该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D．（1）求这个二次函数的解析式、

Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），连接BC、AC，该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D．
（1）求这个二次函数的解析式、点D的坐标及直线BC的函数解析式；
（2）点Q在线段BC上，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若存在点Q，请任选一个Q点求出△BDQ外接圆圆心的坐标．

Answer 1

（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（-2，0）、B（4，0），
与y轴交于点C（0，3），
∴设二次函数为y=a（x+2）（x-4），把点C（0，3）代入得，a（0+2）（0-4）=3，
解得a=-(3)/(8)，
∴这个一次函数的解析式为：y=-(3)/(8)x²+(3)/(4)x+3；
∵y=-(3)/(8)x²+(3)/(4)x+3=-(3)/(8)（x-1）²+(27)/(8)，
∴抛物线的对称轴是直x=1，
∴点D的坐标为（1，0）．　
设直线BC的解析式为；y=kx+b（k≠0），
∴

4k+b＝0

b＝3

，解得

k＝−(3)/(4)

b＝3

，
∴直线BC的解析式为y=-(3)/(4)x+3．

（2）∵A（-2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0），
∴OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，
∴BC=√(OB2+OC2)=√(42+32)=5，
如图1，当∠QDB=∠CAB时，(QB)/(CB)=(DB)/(AB)，(QB)/(5)=(3)/(6)，解得QB=(5)/(2)
过点Q作QH⊥x轴于点H，
∵OC⊥x轴，
∴QH∥CO．
∴(QH)/(3)=((5)/(2))/(5)．解得QH=(3)/(2)．
把y=(3)/(2)代入y=-(3)/(4)x+3，得x=2．
∴此时，点Q的坐标为（2，(3)/(2)）；
如图2，当∠DQB=∠CAB时，(QB)/(AB)=(DB)/(CB)，即(QB)/(6)=(3)/(5)，得QB=(18)/(5)．
过点Q作QG⊥x轴于点G，
∵OC⊥x轴，
∴QG∥CO．
∴(QG)/(3)=((18)/(5))/(5)．解得QG=(54)/(25)．
把y=(54)/(25)代入y=-(3)/(4)x+3，得x=(28)/(25)．
∴此时，点Q的坐标为（(28)/(25)，(54)/(25)）．
综上所述，点Q坐标为（2，(3)/(2)）或（(28)/(25)，(54)/(25)）；

（3）当点Q的坐标为（2，(3)/(2)）时，设圆心的M（(5)/(2)，y）．
∵MD=MQ，
∴（(5)/(2)-1）²+y²=（(5)/(2)-2）²+（y-(3)/(2)）²，解得y=(1)/(12)，
∴M（(5)/(2)，(1)/(12)）．