如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=43x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积

Question

如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=(4)/(3)x²+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A （-1，0）C （0，-4），
把A （-1，0）C （0，-4）代入y=(4)/(3)x²+bx+c得
∴

(4)/(3)−b+c＝0

c＝−4

，解得

b＝−(8)/(3)

c＝−4

，
∴y=(4)/(3)x²-(8)/(3)x-4；

（2）∵y=(4)/(3)x²-(8)/(3)x-4=(4)/(3)（ x-1）²-(16)/(3)，
∴顶点为D（1，-(16)/(3)），
设直线DC交x轴于点E，
由D（1，-(16)/(3)）C （0，-4），
易求直线CD的解析式为y=-(4)/(3)x-4，
易求E（-3，0），B（3，0），
S_△EDB=(1)/(2)×6×(16)/(3)=16，
S_△ECA=(1)/(2)×2×4=4，
S_{四边形ABDC}=S_△EDB-S_△ECA=12；
（3）设M、N的纵坐标为a，
由B和C点的坐标可知BC所在直线的解析式为：y=(4)/(3)x−4，
则M（(−4−a)/(4)，a），N（(3a+12)/(4)，a），
①当∠PMN=90°，MN=a+4，PM=-a，因为是等腰直角三角形，则-a=a+4 则a=-2 则P的横坐标为-(1)/(2)，
即P点坐标为（-(1)/(2)，0）；
②当∠PNM=90°，PN=MN，同上，a=-2，则P的横坐标为(3×(−2)+12)/(4)=(3)/(2)，
即P点坐标为（(3)/(2)，0）；
③当∠MPN=90°，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ=-a，
又PM=PN，∴PQ⊥MN，则MN=2PQ，即：a+4=-2a，
解得：a=-(4)/(3)，
点P的横坐标为：((−4−a+3a+12)/(4))/(2)=(a+4)/(4)=(2)/(3)，
即P点的坐标为（(2)/(3)，0）．