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证明二元函数f(x,y)=(x2+y2)sin1x2+y20(x,y)≠(0,0)(x,y)=(0,0)在点(0,0)处的偏导数存在但不连续,并且在点(0,0)的任何领域内无界,但是在点(0,0)处可微.
题目详情
证明二元函数f(x,y)=
在点(0,0)处的偏导数存在但不连续,并且在点(0,0)的任何领域内无界,但是在点(0,0)处可微.
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▼优质解答
答案和解析
∵f′x(0,0)=
=
=
xsin
=0
f′y(0,0)=
=
=
ysin
=0
∴当(x,y)≠(0,0)时,
fx(x,y)=2xsin
−
cos
fy(x,y)=2ysin
−
cos
由于
cos
和
cos
lim |
x→0 |
f(x,0)−f(0,0) |
x |
lim |
x→0 |
x2sin
| ||
x |
lim |
x→0 |
1 |
x2 |
f′y(0,0)=
lim |
y→0 |
f(0,y)−f(0,0) |
y |
lim |
y→0 |
y2sin
| ||
y |
lim |
y→0 |
1 |
y2 |
∴当(x,y)≠(0,0)时,
fx(x,y)=2xsin
1 |
x2+y2 |
2x |
x2+y2 |
1 |
x2+y2 |
fy(x,y)=2ysin
1 |
x2+y2 |
2y |
x2+y2 |
1 |
x2+y2 |
由于
lim |
(x,y)→(0,0) |
2x |
x2+y2 |
1 |
x2+y2 |
lim |
(x,y)→(0,0) |
2y |
x2+y2 |
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