已知想,x,y,z为三个不相等的实数,且x+1/y=y+1/z=z+1/x,求证：x^2y^2z^2=1

Question

已知想,x,y,z为三个不相等的实数,且x+1/y =y+1/z=z+1/x,求证：x^2y^2z^2=1

Answer 1

x+1/y=y+1/z=z+1/x
同时都乘以xyz,得
xxyz+xz=xyzy+xy=xyzz+yz
由 xxyz+xz=xyzy+xy
得 xyz(x-y)=x(y-z)……（1）
由 xyzy+xy=xyzz+yz
得 xyz(y-z)=y(z-x)=-y(x-z)……（2）
由 xxyz+xz=xyzz+yz
得 xyz(x-z)=z(y-x)=-z(x-y)……（3）
（1）（2）（3）相乘得
(xyz)^3=xyz
x≠y≠z
xyz≠0
(xyz)^2=1
即x^2y^2z^2=1