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已知抛物线C:y2=4x的焦点为F.(1)若点F是线段AP中点,当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求
题目详情
已知抛物线C:y2=4x的焦点为F.
(1)若点F是线段AP中点,当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;
(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)若点F是线段AP中点,当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;
(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)设动点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(xA,yA),
则
=(x-xA,y-yA),
∵F的坐标为(1,0),∴
=(xA-1,yA),
∵点F是线段AP中点,∴(x-xA,y-yA)=-2(xA-1,yA).
解得
,
∵点A在抛物线C上运动,
∴动点P的轨迹方程为:y2=4(2-x)=8-4x.
(2)设点Q的坐标为(t,0).
点Q关于直线y=2x的对称点为Q′(x,y),
则
,解得
.
若Q′在C上,将Q′的坐标代入y2=4x,
得4t2+15t=0,即t=0或t=-
.
∴存在满足题意的点Q,其坐标为(0,0)和(-
,0).
则
AP |
∵F的坐标为(1,0),∴
FA |
∵点F是线段AP中点,∴(x-xA,y-yA)=-2(xA-1,yA).
解得
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∵点A在抛物线C上运动,
∴动点P的轨迹方程为:y2=4(2-x)=8-4x.
(2)设点Q的坐标为(t,0).
点Q关于直线y=2x的对称点为Q′(x,y),
则
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若Q′在C上,将Q′的坐标代入y2=4x,
得4t2+15t=0,即t=0或t=-
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∴存在满足题意的点Q,其坐标为(0,0)和(-
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