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若f(x)是多项式函数,x=a是f(x)的k重根,求证:x=a是f'(x)的k-1重根.
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若f(x)是多项式函数,x=a是f(x)的k重根,求证:x=a是f'(x)的k-1重根.
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答案和解析
因为x=a是f(x)的k重根,所以f（x）=（x-a）^kg（x）,其中g（a）≠0.f'(x)=k(x-a)^(k-1)g(x)+(x-a）^kg'（x)=(x-a)^(k-1)(kg(x)+(x-a)g'(x)),所以(x-a)^(k-1)能够整除f'(x).但(x-a)^k不能整除f'(x).从而x=a是f'(x)的k-1重根.
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