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(2010•南宁)如图1,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.(1)求证:BC为⊙O的切线;(2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图2所
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(2010•南宁)如图1,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.
(1)求证:BC为⊙O的切线;
(2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图2所示),若AB=2
,AD=2,求线段BC和EG的长.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532755102-1919.jpg)
(1)求证:BC为⊙O的切线;
(2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图2所示),若AB=2
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OE,OC;(1分)
∵CB=CE,OB=OE,OC=OC
∴△OEC≌△OBC(SSS)
∴∠OBC=∠OEC (2分)
又∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90° (3分)
∴∠OBC=90°
∴BC为⊙O的切线.(4分)
(2)过点D作DF⊥BC于点F,
∵AD,DC,BG分别切⊙O于点A,E,B
∴DA=DE,CE=CB,
设BC为x,则CF=x-2,DC=x+2,
在Rt△DFC中,(x+2)2−(x−2)2=(2
)2,
解得:x=
;(6分)![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532755101-8692.jpg)
∵AD∥BG,
∴∠DAE=∠EGC,
∵DA=DE,
∴∠DAE=∠AED;
∵∠AED=∠CEG,
∴∠EGC=∠CEG,
∴CG=CE=CB=
,(7分)
∴BG=5,
∴AG=
=
=3
;(8分)
解法一:连接BE,S△ABG=
AB•BG=
AG•BE,
∴2
×5=3
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532755101-3834.jpg)
∵CB=CE,OB=OE,OC=OC
∴△OEC≌△OBC(SSS)
∴∠OBC=∠OEC (2分)
又∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90° (3分)
∴∠OBC=90°
∴BC为⊙O的切线.(4分)
(2)过点D作DF⊥BC于点F,
∵AD,DC,BG分别切⊙O于点A,E,B
∴DA=DE,CE=CB,
设BC为x,则CF=x-2,DC=x+2,
在Rt△DFC中,(x+2)2−(x−2)2=(2
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解得:x=
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![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532755101-8692.jpg)
∵AD∥BG,
∴∠DAE=∠EGC,
∵DA=DE,
∴∠DAE=∠AED;
∵∠AED=∠CEG,
∴∠EGC=∠CEG,
∴CG=CE=CB=
5 |
2 |
∴BG=5,
∴AG=
(2
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解法一:连接BE,S△ABG=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴2
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