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在Rt△ABC中,AC=BC,P是BC中垂线MN上一动点,连接PA,交CB于E,F是点E关于MN的对称点,连接PF延长交AB于D,连接CD交PA于G.(1)若P点移动到BC上时,如图点P,E,F重合,若PD=a,CD=b,则AP=(
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在Rt△ABC中,AC=BC,P是BC中垂线MN上一动点,连接PA,交CB于E,F是点E关于MN的对称点,连接PF延长交AB于D,连接CD交PA于G.
(1)若P点移动到BC上时,如图点P,E,F重合,若PD=a,CD=b,则AP=______(用含a,b的式子表示);
(2)若点P移动到BC的上方时,如图,其它条件不变,求证:CD⊥AE;
(3)若点P移动到△ABC的内时,其它条件不变,线段AE,CD,DE有什么确定的数量关系,请画出图形,并直接写出结论(不必证明).
(1)若P点移动到BC上时,如图点P,E,F重合,若PD=a,CD=b,则AP=______(用含a,b的式子表示);
(2)若点P移动到BC的上方时,如图,其它条件不变,求证:CD⊥AE;
(3)若点P移动到△ABC的内时,其它条件不变,线段AE,CD,DE有什么确定的数量关系,请画出图形,并直接写出结论(不必证明).
▼优质解答
答案和解析
(1)如图2,AP=a+b;
(2)证明:如图3,作∠ACB的角平分线交AP于H,
∵∠ACB=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵BC=AC
∴∠B=45°
又∵P为BC的中垂线MN上一点,E,F关于MN对称
∴CE=BF,PE=PF
∴∠PEF=∠PFE
∴∠CEH=∠BFD
∴△CEH≌△BFD
∴CH=BD
∴△ACH≌△CBD
∴∠BCD=∠CAH
∵∠CAE+∠CEA=90°
∴∠GCE+∠CEG=90°
∴∠CGH=90°
∴CD⊥AE;
(3)如图1,AE=CD+DF.
(2)证明:如图3,作∠ACB的角平分线交AP于H,
∵∠ACB=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵BC=AC
∴∠B=45°
又∵P为BC的中垂线MN上一点,E,F关于MN对称
∴CE=BF,PE=PF
∴∠PEF=∠PFE
∴∠CEH=∠BFD
∴△CEH≌△BFD
∴CH=BD
∴△ACH≌△CBD
∴∠BCD=∠CAH
∵∠CAE+∠CEA=90°
∴∠GCE+∠CEG=90°
∴∠CGH=90°
∴CD⊥AE;
(3)如图1,AE=CD+DF.
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