已知函数f(x)=ax^2+2bx+c（a不等于0）,a,b,c为实数,且a>b>c,a+b+c=0（1）求证：f(x)的图像与x轴必有两个交点A、B,并求线段AB的长|AB|的取值范围（2）设方程f(x)=0的两个根为x1,x2,求证：x1,x2均小于2

Question

已知函数f(x)=ax^2+2bx+c（a不等于0）,a,b,c为实数,且a>b>c,a+b+c=0
（1）求证：f(x)的图像与x轴必有两个交点A、B,并求线段AB的长|AB|的取值范围
（2）设方程f(x)=0的两个根为x1,x2,求证：x1,x2均小于2

Answer 1

1、证明：因a>b>c,a+b+c=0,所以a>0 且c0所以f(x)的图像与x轴必有两个交点A、B.
根据韦达定理得：x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
|AB|=|x1-x2|
=√(x1-x2)^2
=√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(b^2-4ac)/a a+b+c=0 所以可得：b=-(a+c)
=(a-c)/a
=1-c/a
-c>0,a>0
所以可得：|AB|>1
2、a>0函数开口向上,
如果x1,x2均小于2则有：f(2)>0
得：f(2)=4a+2b+c
=3a+b+a+b+c
=3a+b
=2a+a+b+c-c
=2a-c
因：a>0,c0
即：f(2)>0 假设成立,所以x1,x2均小于2.