早教吧作业答案频道 -->数学-->
在数字1,2,…,n(n≥2)的任意一个排列A:a1,a2,…,an中,如果对于i,j∈N*,i<j,有ai>aj,那么就称(ai,aj)为一个逆序对.记排列A中逆序对的个数为S(A).如n=4时,在排列B:3
题目详情
在数字1,2,…,n(n≥2)的任意一个排列A:a1,a2,…,an中,如果对于i,j∈N*,i<j,有ai>aj,那么就称(ai,aj)为一个逆序对.记排列A中逆序对的个数为S(A).
如n=4时,在排列B:3,2,4,1中,逆序对有(3,2),(3,1),(2,1),(4,1),则S(B)=4.
(Ⅰ)设排列 C:3,5,6,4,1,2,写出S(C)的值;
(Ⅱ)对于数字1,2,…,n的一切排列A,求所有S(A)的算术平均值;
(Ⅲ)如果把排列A:a1,a2,…,an中两个数字ai,aj(i<j)交换位置,而其余数字的位置保持不变,那么就得到一个新的排列A':b1,b2,…,bn,求证:S(A)+S(A')为奇数.
如n=4时,在排列B:3,2,4,1中,逆序对有(3,2),(3,1),(2,1),(4,1),则S(B)=4.
(Ⅰ)设排列 C:3,5,6,4,1,2,写出S(C)的值;
(Ⅱ)对于数字1,2,…,n的一切排列A,求所有S(A)的算术平均值;
(Ⅲ)如果把排列A:a1,a2,…,an中两个数字ai,aj(i<j)交换位置,而其余数字的位置保持不变,那么就得到一个新的排列A':b1,b2,…,bn,求证:S(A)+S(A')为奇数.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)逆序对有(3,1),(3,2),(5,4),(5,1),(5,2),(4,1),(4,2),
(6,4),(6,1),(6,2)则S(C)=10;
(Ⅱ)考察排列D:d1,d2,…,dn-1,dn与排列D1:dn,dn-1,…,d2,d1,
因为数对(di,dj)与(dj,di)中必有一个为逆序对(其中1≤i且排列D中数对(di,dj)共有
=
个,
所以S(D)+S(D1)=
.
所以排列D与D1的逆序对的个数的算术平均值为
.
而对于数字1,2,…,n的任意一个排列A:a1,a2,…,an,
都可以构造排列A1:an,an-1,…,a2,a1,
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为
.
所以所有S(A)的算术平均值为
.
(Ⅲ)证明:(1)当j=i+1,即ai,aj相邻时,
不妨设ai<ai+1,则排列A'为a1,a2,…,ai-1,ai+1,ai,ai+2,…,an,
此时排列A'与排列A:a1,a2,…,an相比,仅多了一个逆序对(ai+1,ai),
所以S(A')=S(A)+1,
所以S(A)+S(A')=2S(A)+1为奇数.
(2)当j≠i+1,即ai,aj不相邻时,
假设ai,aj之间有m个数字,记排列A:a1,a2,…,ai,k1,k2,…km,aj,…,an,
先将ai向右移动一个位置,得到排列A1:a1,a2,…,ai-1,k1,ai,k2,…,km,aj,…,an,
由(1)知S(A1)与S(A)的奇偶性不同,
再将ai向右移动一个位置,得到排列A2:a1,a2,…,ai-1,k1,k2,ai,k3,…,km,aj,…,an,
由(1)知S(A2)与S(A1)的奇偶性不同,
以此类推,ai共向右移动m次,得到排列Am:a1,a2,…,k1,k2,…,km,ai,aj,…,an,
再将aj向左移动一个位置,得到排列Am+1:a1,a2,…,ai-1,k1,…,km,aj,ai,…,an,
以此类推,aj共向左移动m+1次,得到排列A2m+1:a1,a2,…,aj,k1,…,km,ai,…,an,
即为排列A',
由(1)可知仅有相邻两数的位置发生变化时,排列的逆序对个数的奇偶性发生变化,
而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置,可以得到排列A',
所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同,
所以S(A)+S(A')为奇数.
综上,得S(A)+S(A')为奇数.
(6,4),(6,1),(6,2)则S(C)=10;
(Ⅱ)考察排列D:d1,d2,…,dn-1,dn与排列D1:dn,dn-1,…,d2,d1,
因为数对(di,dj)与(dj,di)中必有一个为逆序对(其中1≤i
C | 2 n |
n(n-1) |
2 |
所以S(D)+S(D1)=
n(n-1) |
2 |
所以排列D与D1的逆序对的个数的算术平均值为
n(n-1) |
4 |
而对于数字1,2,…,n的任意一个排列A:a1,a2,…,an,
都可以构造排列A1:an,an-1,…,a2,a1,
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为
n(n-1) |
4 |
所以所有S(A)的算术平均值为
n(n-1) |
4 |
(Ⅲ)证明:(1)当j=i+1,即ai,aj相邻时,
不妨设ai<ai+1,则排列A'为a1,a2,…,ai-1,ai+1,ai,ai+2,…,an,
此时排列A'与排列A:a1,a2,…,an相比,仅多了一个逆序对(ai+1,ai),
所以S(A')=S(A)+1,
所以S(A)+S(A')=2S(A)+1为奇数.
(2)当j≠i+1,即ai,aj不相邻时,
假设ai,aj之间有m个数字,记排列A:a1,a2,…,ai,k1,k2,…km,aj,…,an,
先将ai向右移动一个位置,得到排列A1:a1,a2,…,ai-1,k1,ai,k2,…,km,aj,…,an,
由(1)知S(A1)与S(A)的奇偶性不同,
再将ai向右移动一个位置,得到排列A2:a1,a2,…,ai-1,k1,k2,ai,k3,…,km,aj,…,an,
由(1)知S(A2)与S(A1)的奇偶性不同,
以此类推,ai共向右移动m次,得到排列Am:a1,a2,…,k1,k2,…,km,ai,aj,…,an,
再将aj向左移动一个位置,得到排列Am+1:a1,a2,…,ai-1,k1,…,km,aj,ai,…,an,
以此类推,aj共向左移动m+1次,得到排列A2m+1:a1,a2,…,aj,k1,…,km,ai,…,an,
即为排列A',
由(1)可知仅有相邻两数的位置发生变化时,排列的逆序对个数的奇偶性发生变化,
而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置,可以得到排列A',
所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同,
所以S(A)+S(A')为奇数.
综上,得S(A)+S(A')为奇数.
看了 在数字1,2,…,n(n≥2...的网友还看了以下:
按照构成生物体的结构层次,将下列有关信息进行排序,你认为下列排序中正确的是()1.胃,小肠等.2. 2020-05-02 …
下列各组向量中,向量a,b,c共面的一组是()A.a="("4,2,1),b="(–1,"2,2) 2020-05-13 …
4.2与1.2的差除它们的和,商是多少?正确的列式是[]A.(4.2-1.2)÷(4.2+1.2) 2020-06-27 …
等差数列·基础练习题一、填空题1.等差数列8,5,2,…的第20项为.2.在等差数列中已知a1=1 2020-07-09 …
24.一个栈的入栈序列为1,2,3,4,这个栈的出栈序列是().A.1,3,2,4B.2,3,4, 2020-07-10 …
54÷2.5÷4用简便方法计算式()A.54÷4÷2.5B.84÷(2.5÷4)C.54÷(2.5 2020-07-14 …
计算下面各题,能简算的要简算.(4.2+4.2÷2.1)÷0.217÷[(1.2+0.5)×5]0 2020-07-19 …
从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一 2020-11-03 …
一个体重为70千克的人,他体内的血液总量为()A.1.4--2.1升B.3.5-4.2升C.4.9- 2020-12-02 …
学校买来200本新书,放在2个书架上,每个书架有4层,平均每层放多少本?下列算式错误的是()A.20 2020-12-26 …