一个质量m=200.0千克，长l0=2.00米的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部（如图）．桶内的横截面积S=0.500米2（桶的容积为l0S），桶本身（桶壁与桶底）的体积V0=2.50×10-2米3．桶内封有高度l=0.200

Question

一个质量m=200.0千克，长l₀=2.00米的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部（如图）．桶内的横截面积S=0.500米²（桶的容积为l₀S），桶本身（桶壁与桶底）的体积V₀=2.50×10^-2米³．桶内封有高度l=0.200米的空气，池深H₀=20.00米，大气压强p₀=10.00米水柱高，水的密度ρ=1.000×10³千克/米³．重力加速度g取10.00米/秒²．若用图中所示的吊绳将桶上提，使桶底能到达水面处，则绳拉力所需做的功有一最小值．试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和水（包括池水及桶内水）的机械能改变了多少（结果要保留三位有效数字）．不计水的阻力，设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响，并设水温上下均匀且保持不变．

Answer 1

在上提过程中，桶内空气压强减小，体积将增大，从而对桶和桶内空气（空气质量不计），这一整体的浮力将增大．本题若存在桶所受浮力等于重力的位置，则此位置是桶的不稳定平衡点，再稍上提，浮力将大于重力，桶就会上浮．从这时起，绳不必再拉桶，桶会在浮力作用下，上浮到桶底到达水面并冒出．因此绳对桶的拉力所需做的最小功的过程，就是缓慢地将桶由池底提高到浮力等于重力的位置所历的过程．
下面先看这一位置是否存在．如果存在的话，如图所示，设在此位置时桶内空气的高度为l′，因浮力等于重力，应有：
mg=ρ（lS+V₀）g ①
代入已知数据可得：
l′=0.350m ②
设此时筒的下边缘距离池底高度为H，由波义耳-马略特定律得到：
[P₀+H₀（l₀-l）]l=[P₀+H₀-H-（l₀-l′）]l′③
由①②③得到：
H=12.24m
由于H＜（H₀-l₀），即整个桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置．
现在要求将桶由池底缓慢地提高到H处桶及水的机械能的增量△E，△E包括三部分：
（1）桶势能的增量△E₁；
（2）在H高时桶本身排开的水可看作下降去填充在池底时桶本身所占空间而引起水势能的增量△E₂；
（3）在H高度时桶内空气所排开的水，可看作一部分下降去填充在池底时空气所占的空间，由于空气膨胀的那部分上升到水池表面，由此引起水势的增量△E₃；
则：
△E₁=mgH
△E₂=-ρV₀gH
△E3＝ρSLg(L0−(L)/(2))+ρS(l′−l)gH0-ρSl′g(H+l0−(l′)/(2))
△E=△E₁+△E₂+△E₃
=[m−ρ(V0+Sl′)]gH+ρsg[(l′−l)(H0−l0)+(1)/(2)(l′+l2)]
=ρSg[(l′−l)(H0−l0)+(1)/(2)(l′2−l2)]
=1.37×10⁴J
答：从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和水（包括池水及桶内水）的机械能改变了1.37×10⁴J．