lim（1+1/n）^n=e,n→∞,关于e的问题书上写“其极值记为e”这个e和那个.71828……是相同的数吗?如果是,怎么证明.这个e是代指一个不确定的极限,不一定是2.71828吗?还是别的意思?

Question

lim（1+1/n）^n=e,n→∞,关于e的问题
书上写“其极值记为e”
这个e和那个.71828……是相同的数吗?如果是,怎么证明.
这个e是代指一个不确定的极限,不一定是2.71828吗?
还是别的意思?

Answer 1

代表的就是那个e≈2.71828
证明方法如下：
lim(n->∞) (1+1/n)^n
=lim(n->∞) e^[ln(1+1/n)^n]
=lim(n->∞) e^[n*ln(1+1/n)]
=e^[lim(n->∞) ln(1+1/n)/(1/n)]
因为lim(n->∞) ln(1+1/n)/(1/n)是“0/0”型,所以可以运用洛必达法则
原式=e^{lim(n->∞) [(-1/n^2)/(1+1/n)]/(-1/n^2)]}
=e^[lim(n->∞) 1/(1+1/n)]
=e^1
=e