如图（a），平行长直导轨MN、PQ水平放置，两导轨间距L=0.5m，导轨左端MP间接有一阻值为R=0.2Ω的定值电阻，导体棒ab质量m=0.1kg，与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，导体棒垂直于导轨放在距离左端d=

Question

如图（a），平行长直导轨MN、PQ水平放置，两导轨间距L=0.5m，导轨左端MP间接有一阻值为R=0.2Ω的定值电阻，导体棒ab质量m=0.1kg，与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，导体棒垂直于导轨放在距离左端d=1.0m处，导轨和导体棒电阻均忽略不计．整个装置处在范围足够大的匀强磁场中，t=0时刻，磁场方向竖直向下，此后，磁感应强度B随时间t的变化如图（b）所示，不计感应电流磁场的影响．当t=3s时，突然使ab棒获得向右的速度v₀=8m/s，同时在棒上施加一方向水平、大小可变化的外力F，保持ab棒具有大小为恒为a=4m/s²、方向向左的加速度，取g=10m/s²．
（1）求前3s内电路中感应电流的大小和方向；
（2）求前3s内ab棒所受的摩擦力随时间变化的关系式；
（3）求ab棒的位移s₁=3.5m时外力F；
（4）从t=0时刻开始，当通过电阻R的电量q=2.25C时，ab棒正在向右运动，此时撤去外力F，此后ab棒又运动了s₂=6.05m后静止．求撤去外力F后电阻R上产生的热量Q．

Answer 1

（1）由图b知：(△B)/(△t)=(0.2)/(2)=0.1T/s
则回路中产生的感应势为：E=(△Φ)/(△t)=(△B)/(△t)Ld=0.1×0.5×1V=0.05V
感应电流为：I=(E)/(R)=(0.05)/(0.2)A=0.25A
根据楞次定律判断知感应电流方向为abPMa．
（2）ab棒在水平方向受安培力和摩擦力，二力平衡，有：
f=BIL=（B₀-kt）IL=（0.2-0.1t）×0.25×0.5N=0.0125（2-t）N（t＜3s）
（3）ab棒做匀变速运动，位移s₁=3.5m时，速度大小设为v₁，则：

v

2 1

-

v

2 0

=2as₁；
代入数据：v₀=8m/s，a=-4m/s²
解得：v₁=6 m/s
对应的安培力大小为：F_A=BIL=(B2L2v1)/(R)=(0．12×0．52×6)/(0.2)N=0.075N
当ab棒向右运动时，F+μmg+F_A=ma，F+0.1+0.075=0.1×4，则得 F=0.225N，方向向左
当ab棒向左运动时，F-μmg-F_A=ma，F-0.1-0.075=0.1×4，则得 F=0.575N，方向向左
（4）前3s内通过电阻R的电量为：q₁=I×△t=0.25×3 C=0.75C
设3s后到撤去外力F时又运动了s，则有：
q₂=

.

I

△t=(△Φ)/(△t•R)•△t=(△Φ)/(R)=(BLs)/(R)=q-q₁=1.5C
解得：s=6m
此时ab棒的速度设为v₂，则有：

v

2 2

-

v

2 0

=2as
解得：v₂=4m/s
此后到停止，由动能定理得：
W_A+W_f=△E_k
又 W_A=-Q
可得：Q=W_f-△E_k=-μmgs₂-（0-(1)/(2)m

v

2 2

）=（-0.605+0.8）J=0.195J
答：（1）前3s内电路中感应电流的大小为0.25A，方向为 abPMa．
（2）前3s内ab棒所受的摩擦力随时间变化的关系式为：f=0.0125（2-t）N（t＜3s）．
（3）ab棒的位移s₁=3.5m时：当ab棒向右运动时，F=0.225N，方向向左；当ab棒向左运动时，F=0.575N，方向向左．
（4）撤去外力F后电阻R上产生的热量Q为0.195J．