在△ABC中角ABC所对的边分别为abcb=acosC且△ABC的最大边长为12在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=acosC且△ABC的最大边长为12最小角的正弦值为1/3（1）判断△ABC的形状（2）求△ABC的面积

Question

在△ABC中角ABC所对的边分别为abc b=acosC 且△ABC的最大边长为12
在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=acosC 且△ABC的最大边长为12 最小角的正弦值为1/3 （1）判断△ABC的形状 （2）求△ABC的面积

Answer 1

(1)由正弦定理,a/b=sinA/sinB,所以由 b=acosC 可知 sinB=sinAcosC.
由和差化积公式,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC,所以有
cosAsinC=0.因为在三角形中必有 sinC>0,所以只能 cosA=0,从而A=90度,即三角形ABC是直角三角形,且角A是直角.
(2)因为直角三角形最大边,即斜边边长为12,最小角正弦值为1/3,所以最短边边长为 12*1/3=4,由勾股定理可以求得另一条边的长度为 8根号2,因此三角形ABC的面积为 4*8根号2/2=16根号2.