已知函数f（x）=x2+ax+3．（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．（3）若对一切a∈[-3，3]，不等式f（x）≥a恒成立，那么实数x的取值

Question

已知函数f（x）=x²+ax+3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．
（3）若对一切a∈[-3，3]，不等式f（x）≥a恒成立，那么实数x的取值范围是什么？

Answer 1

（1）f（x）≥a即x²+ax+3-a≥0，
要使x∈R时，x²+ax+3-a≥0恒成立，
应有△=a²-4（3-a）≤0，
即a²+4a-12≤0，
解得-6≤a≤2；
（2）当x∈[-2，2]时，令g（x）=x²+ax+3-a，
当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，
转化为g（x）_min≥a，
分以下三种情况讨论：
①当−(a)/(2)≤−2即a≥4时，g（x）在[-2，2]上是增函数，
∴g（x）在[-2，2]上的最小值为g（-2）=7-3a，
∴

a≥4

7−3a≥0

，解得a无解，
②当 −(a)/(2)≥2即a≤-4时，g（x）在[-2，2]上是递减函数，
∴g（x）在[-2，2]上的最小值为g（2）=7+a，
∴

a≤−4

7+a≥0

，解得-7≤a≤-4，
③当−2＜−(a)/(2)＜2即-4＜a＜4时，g（x）在[-2，2]上的最小值为g（-(a)/(2)）=-(a2)/(4)-a+3，
∴

−4＜a＜4

−(a2)/(4)−a+3≥0

，解得-4＜a≤2，
综上所述，实数a的取值范围是-7≤a≤2；
（3）不等式f（x）≥a即x²+ax+3-a≥0．
令h（a）=（x-1）a+x²+3，
要使h（a）≥0在[-3，3]上恒成立，
只需

h(−3)≥0

h(3)≥0

，即

x2−3x+6≥0

x2+3x≥0

，
解得x≥0或x≤-3，
∴实数x的取值范围是x≥0或x≤-3．