已知椭圆x²/a²+y²/b²=1上的两点P,Q,O为坐标原点,OP⊥OQ,求证1/OP²+1/OQ²为定值!a＞b＞1

Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1上的两点P,Q,O为坐标原点,OP⊥OQ,
求证1/OP²+1/OQ²为定值!a＞b＞1

Answer 1

当 OP丄x轴,OQ//x轴时,显然 1/OP^2+1/OQ^2=1/a^2+1/b^2 .
当 OP、OQ 与坐标轴不平行时,设 OP 方程为 y=kx ,
代入可得 x^2/a^2+k^2x^2/b^2=1 ,
解得 x^2=1/(1/a^2+k^2/b^2)=a^2b^2/(k^2a^2+b^2) ,
所以 y^2=k^2x^2=a^2b^2k^2/(k^2a^2+b^2) ,
则 1/OP^2=1/(x^2+y^2)=(k^2a^2+b^2)/(a^2b^2k^2+a^2b^2) ,
在上式中,将 k 换成 -1/k 可得 1/OQ^2=(a^2+k^2b^2)/(a^2b^2k^2+a^2b^2) ,
因此可得
1/OP^2+1/OQ^2=(k^2a^2+b^2+a^2+k^2b^2)/(a^2b^2k^2+a^2b^2)
=(a^2+b^2)(k^2+1)/[a^2b^2(k^2+1)]
=(a^2+b^2)/(a^2b^2)
=1/a^2+1/b^2,
综上可知,总有 1/OP^2+1/OQ^2=1/a^2+1/b^2 为定值.