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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为直角三角形,∠ACB=π2,顶点C1在底面△ABC内的射影是点B,且AC=BC=BC1=3,点T是平面ABC1内一点.(1)若T是△ABC1的重心,求直线A1T与平面ABC1所成角;(2
题目详情
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为直角三角形,∠ACB=
,顶点C1在底面△ABC内的射影是点B,且AC=BC=BC1=3,点T是平面ABC1内一点.
(1)若T是△ABC1的重心,求直线A1T与平面ABC1所成角;
(2)是否存在点T,使TB1=TC且平面TA1C1⊥平面ACC1A1,若存在,求出线段TC的长度,若不存在,说明理由.
π |
2 |
(1)若T是△ABC1的重心,求直线A1T与平面ABC1所成角;
(2)是否存在点T,使TB1=TC且平面TA1C1⊥平面ACC1A1,若存在,求出线段TC的长度,若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
如图以CB、CA分别为x,y轴,过C作直线Cz∥BC1,以Cz为z轴建立空间坐标系,
则B(3,0,0),C(0,0,0),A(0,3,3),C1(3,0,3),
∵
=
+
=(6,0,3),
∴B1(6,0,3),
∵
=
+
=(3,3,3),
∴A1(3,3,3),
(1)∵T是△ABC1重心,
∴T(2,1,1),
∴
=(1,2,2),
设面ABC1的法向量为
=(x,y,z),
由
则B(3,0,0),C(0,0,0),A(0,3,3),C1(3,0,3),
∵
CB1 |
CC1 |
CB |
∴B1(6,0,3),
∵
CA1 |
CC1 |
CA |
∴A1(3,3,3),
(1)∵T是△ABC1重心,
∴T(2,1,1),
∴
. |
TA1 |
设面ABC1的法向量为
m |
由
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