已知等比数列{an}的公比q>1，42是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn=log2an（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．

Question

已知等比数列{a_n}的公比q>1，4√(2)是a₁和a₄的一个等比中项，a₂和a₃的等差中项为6，若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）因为4√(2)是a₁和a₄的一个等比中项，
所以a1•a4=(4√(2))2=32．
由题意可得

a2•a3=32

a2+a3=12.

在为q>1，所以a₃>a₂．
解得

a2=4

a3=8

所以q=(a3)/(a2)=2．
故数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．
（2）由于b_n=log₂a_n（n∈N^*），
所以b_n=n，a_nb_n=n•2ⁿ．S_n=1•2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=1•2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=(2(1-2n))/(1-2)-n•2n+1．
所以S_n=2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹．