大一高数设0＜a＜b,函数f（x）在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,试利用柯西中值定理,证明存在一点t属于（a,b）使f(b)-f(a)=tf(t)导ln（b／a）还有这类的题都咋解啊?

Question

大一高数
设0＜a＜b,函数f（x）在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,试利用柯西中值定理,证明存在一点t属于（a,b）使f(b)-f(a)=tf(t)导ln（b／a）还有这类的题都咋解啊?

Answer 1

令g(x)=lnx,g(x)导=1/x
g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
所以根据柯西中值定理,存在t∈(a,b),使
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f(t)导/g(t)导
[f(b)-f(a)]/[lnb-lna]=f(t)导/(1/t)
f(b)-f(a)=tf(t)*ln(b/a)