要高考了，问一下，f(a+x)=f(a-x)等价于f(2a-x)=f(x)，可以推出T=2a和对称轴为x=a对吗？RT我碰到一道题目，它说了f(x)是奇函数，且f(x+3)=f(3-x),那我将其变形，变成f(x+3+3)=f[3-（x+3）]=f(-x)=-f(x),所以T=6

Question

要高考了，问一下，f(a+x)=f(a-x)等价于f(2a-x)=f(x)，可以推出T=2a和对称轴为x=a对吗？
RT
我碰到一道题目，它说了f(x)是奇函数，且f(x+3)=f(3-x),那我将其变形，变成f(x+3+3)=f[3-（x+3）]=f(-x)=-f(x),所以T=6咯？就是说必须得说为奇函数才能推出这个结论吧？
PS：我一直不知道怎么把这些对称轴啊，周期之类的公式背下来诶~教教我怎么背吧~我一直是死记硬背的~

Answer 1

f(a+x)=f(a-x)等价于f(2a-x)=f(x)，
设（x，f（x））是f(x)上的任意一点
则f(x）=f(2a-x)，知，点（2a-x，f（x））也在f（x）函数的图像上
可以推出对称轴为x=（x+2a-x）/2=a
同理f（x+2a）=f（a+（x+a））=f（a-（x+a））=f(-x)
假设T=2a，那么有f（x+2a）=f（x），
即f（x）=f(-x)，
也就是说当f（x）是偶函数时f(a+x)=f(a-x)等价于f(2a-x)=f(x)，可以
推出T=2a
f(x+3+3)=f[3-（x+3）]=f(-x)=-f(x),
T=6指的是f（x）=f（x+6）
而不是-f（x）=f（x+6）
由-f（x）=f（x+6），有-f（x+6）=-（-f(（x+6）+6）)=f（x+12）
所以f（x+6）=-f（x+12）
即f（x）=f（x+12）
f（x）是以T=12为最小正周期的奇函数
综上所述，在已知f(a+x)=f(a-x)的条件下，
当f（x）是奇函数或者偶函数时才可以推得f（x）是周期函数
且当f（x）是奇函数时，T=4a，当f（x）是偶函数时，T=2a
有疑问可以HI我！
参考资料：我最爱数学团队！