请教一个高等数学中数列极限的问题证明方程x+…+x^n=1在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根还有一问，记实根为Xn.证明n趋于无穷时Xn极限存在并求此极限

Question

请教一个高等数学中数列极限的问题
证明方程x+…+x^n=1在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根
还有一问，记实根为Xn.证明n趋于无穷时Xn极限存在并求此极限

Answer 1

　　1）令
　　　　f(x) = (x+…+x^n) - 1,
易知f(x) 在区间 [1/2,1] 内连续,且
　　　　f(1/2) < 0,f(1) > 0,
则根据零点存在定理,存在 c∈(1/2,1),使
　　　　f(c) = 0,
又
　　　　f'(x) > 0,x∈(1/2,1),
可知f(x) 在区间 [1/2,1] 内单调上升,得知方程x+…+x^n=1在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根.
　　2）记实根为x(n),则有
　　　　x(n)+…+x(n)^n = 1,
即
　　　　x(n)[1 - x(n)^n]/[1 - x(n)] = 1,
令 n→inf.,则得
　　　　x(n)/[1 - x(n)] = 1,
可解得
　　　　x(n) = 1/2.