高手来讨论：函数在某点有左导数，和导函数有左侧极限是一回事吗？可导是对于一点可导的吧？我翻网上的一些信息，说导数有左极限，是一个趋近的过程，并不局限于一点什么的。总感

Question

高手来讨论：函数在某点有左导数，和导函数有左侧极限 是一回事吗？
可导是对于一点可导的吧？我翻网上的一些信息，说导数有左极限，是一个趋近的过程，并不局限于一点什么的。
总感觉对这个问题感觉有些模糊啊。极限这一章许多概念真是太重要了，搞清楚后面会省力不少啊
能不能多讲讲第一章几个易混淆的概念，和多元函数微积分比较一下。
考研名师张宇老师说过：“函数在自变量X的某种趋向下，函数的极限存在，函数处处有定义。”这句话总感觉像废话，可是如果不是这个老师讲出来提醒，又感觉自己理解的不深。我自己感觉极限，研究的是“邻近、附近”，neighborhood。好像表现在数轴上，就是某点附近的一片区域，有许多点。函数在某点可导，就是只关心这一点的情况。——话虽然说出来了，可是还是感觉不甚清晰，不知道是不习惯这种思维方式还是别的什么？
对了，还有像导数、定积分，用极限定义的，他们都好比一种——固定格式——的极限。感觉固定格式这种说法很赞啊，这是赵慈庚老师，北师大老教授书里写的。
若是有精彩的回答，本人不会吝惜分数的。就怕引来某些不懂装懂，或者回答太简短，说法呆板不够形象的。不够若是真的有心的话，估计不在乎这些毛毛雨的，欢迎讨论

Answer 1

http://zhidao.baidu.com/question/937618248054096492
这里有一个导数和连续性很好的例子
可以说左导数和导数的左极限几乎没有什么联系
左导数存在，导数左极限不一定存在，如上面给的例子
导数左极限存在，左导数也不一定存在，例如f(x)=sign(x)
归根到底，是这两者定义的不同
左导数的定义是[f(x0+t)-f(x0)]/t，t趋于0-的极限，这需要f(x)在(x0-δ,x0]上有定义，其中δ是某一正数，f(x)在(x0-δ,x0)不一定要可导，甚至连连续性都不需要。例如f(x)=x^2,x是有理数；f(x)=-x^2，x是无理数。
导函数有左侧极限则要求f(x)在(x0-δ,x0)上可导而且x趋于x0-时极限存在，对于x0并无要求，例如上面的f(x)=sign(x)
不知道有没有说清楚，欢迎追问。