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如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差.(1)设数列{an}是公方差为p的等方差
题目详情
如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差.
(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列,求an和an-1(n≥2,n∈N)的关系式;
(2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列;
(3)设数列{an}是首项为2,公方差为2的等方差数列,若将a1,a2,a3,…,a10这种顺序的排列作为某种密码,求这种密码的个数.
(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列,求an和an-1(n≥2,n∈N)的关系式;
(2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列;
(3)设数列{an}是首项为2,公方差为2的等方差数列,若将a1,a2,a3,…,a10这种顺序的排列作为某种密码,求这种密码的个数.
▼优质解答
答案和解析
(1)由等方差数列的定义可知:an2-an-12=p,n≥2,n∈N.
(2)证明:∵an是等差数列,设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d
又an是等方差数列,∴an2-an-12=an+12-an2
∴(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an)
即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,
∴d=0,即an是常数列.
(3)依题意,an2-an-12=2,n≥2,n∈N,
a12=4,an2=4+2(n-1)=2n+2,
∴an=
,或an=−
,
即该密码的第一个数确定的方法数是l,其余每个数都有“正”或“负”两种
确定方法,当每个数确定下来时,密码就确定了,即确定密码的方法数是29=512种,
故,这种密码共512种.
(2)证明:∵an是等差数列,设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d
又an是等方差数列,∴an2-an-12=an+12-an2
∴(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an)
即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,
∴d=0,即an是常数列.
(3)依题意,an2-an-12=2,n≥2,n∈N,
a12=4,an2=4+2(n-1)=2n+2,
∴an=
2n+2 |
2n+2 |
即该密码的第一个数确定的方法数是l,其余每个数都有“正”或“负”两种
确定方法,当每个数确定下来时,密码就确定了,即确定密码的方法数是29=512种,
故,这种密码共512种.
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