设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N（μ，σ2），Y服从[-π，π]上的均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中Φ（x）=12π∫x−∞e−t22dt）．

Question

设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N（μ，σ²），Y服从[-π，π]上的均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中Φ（x）=(1)/(√(2π))

∫

x −∞

e−(t2)/(2)dt）．

Answer 1

因为X与Y独立，
X服从正态分布N（μ，σ²），Y服从[-π，π]上的均匀分布，
所以X与Y的概率密度分别为：
f_X（x）=(1)/(√(2π)σ)e−((x−μ)2)/(σ2)，
f_Y（y）=

(1)/(2π)  −π＜y＜π

0      其他

，
因为Z=X+Y，故其概率密度为：
f_Z（z）=

∫

+∞ −∞

fX(x)fY(z−x)dx=

∫

z+π z−π

fX(x)•(1)/(2π)dx=(1)/(2π)

∫

z+π z−π

fX(x)dx 
=(1)/(2π)(

∫

z+π −∞

fX(x)dx−

∫

z−π −∞

fX(x)dx)
=(1)/(2π)(FX(z+π)−FX(z−π))
=(1)/(2π)(Φ((z+π−μ)/(σ))−Φ((z−π−μ)/(σ)))．