（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．

Question

（2015•兴国县一模）已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）
①求抛物线方程；
②求△ABS面积的最大值．

Answer 1

①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x₀，y₀）
当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x₁+x₂+p=8，∴x0＝4−(p)/(2)
又

y

2 1

＝2px1

y

2 2

＝2px2

得

y

2 1

−

y

2 2

＝2p(x1−x2)，∴y0＝(p)/(k)
所以M(4−(p)/(2)，(p)/(k))
依题意((p)/(k))/(4−(p)/(2)−6)•k＝−1，∴p=4
∴抛物线方程为y²=8x----（6分）
当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y²=8x
②当直线的斜率存在时，由M（2，y₀）及kl＝(4)/(y0)，lAB：y−y0＝(4)/(y0)(x−2)
令y=0，得xK＝2−(1)/(4)

y

2 0

又由y²=8x和lAB：y−y0＝(4)/(y0)(x−2)得：y2−2y0y+2

y

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