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若函数y=f(x)对于一切实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),(1)求f(0)并证明y=f(x)是奇函数;(2)若f(1)=3,求f(-3).
题目详情
若函数y=f(x)对于一切实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),
(1)求f(0)并证明y=f(x)是奇函数;
(2)若f(1)=3,求f(-3).
(1)求f(0)并证明y=f(x)是奇函数;
(2)若f(1)=3,求f(-3).
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),
解得f(0)=0;
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),
∴y=f(x)是奇函数;
(2)∵f(1)=3,f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=[f(1)+f(1)]+f(1)=3f(1)=9,
又y=f(x)是奇函数;
∴f(-3)=-f(3)=-9.
解得f(0)=0;
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),
∴y=f(x)是奇函数;
(2)∵f(1)=3,f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=[f(1)+f(1)]+f(1)=3f(1)=9,
又y=f(x)是奇函数;
∴f(-3)=-f(3)=-9.
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