已知函数f（x）=1-5x•a5x+1，x∈（b-3，2b）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）是区间（b-3，2b）上的减函数；（3）若f（m-1）+f（2m+1）＞0，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=1-(5x•a)/(5x+1)，x∈（b-3，2b）是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明：f（x）是区间（b-3，2b）上的减函数；
（3）若f（m-1）+f（2m+1）＞0，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f(x)＝1−(a•5x)/(5x+1)，x∈（b-3，2b）是奇函数，
∴f(0)＝1−(a)/(2)＝0，且b-3+2b=0，
即a=2，b=1．
（2）证明：由（ I）得f(x)＝1−(2•5x)/(5x+1)＝(1−5x)/(5x+1)，x∈（-2，2），
设任意 x₁，x₂∈（-2，2）且x₁＜x₂，
∴f(x1)−f(x2)＝(1−5x1)/(5x1+1)−(1−5x2)/(5x2+1)＝(2(5x2−5x1))/((5x1+1)(5x2+1))，
∵x₁＜x₂∴5x1＜5x2∴5x2−5x1＞0
又∵5x1+1＞0，5x2+1＞0
∴(2(5x2−5x1))/((5x1+1)(5x2+1))＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）是区间（-2，2）上的减函数．
（3）∵f（m-1）+f（2m+1）＞0，
∴f（m-1）＞-f（2m+1）
∵f（x）奇函数∴f（m-1）＞f（-2m-1）
∵f（x）是区间（-2，2）上的减函数
∴

m−1＜−2m−1

−2＜m−1＜2

−2＜2m+1＜2

即有

m＜0

−1＜m＜3

−(3)/(2)＜m＜(1)/(2)

∴-1＜m＜0，
则实数m的取值范围是（-1，0）．