已知定圆O1、O2的半径分别为r1、r2，圆心距|O1O2|=2，动圆C与圆O1、O2都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1+e2e1e2的值为（）A．r1+r2B．r1和r2

Question

已知定圆O₁、O₂的半径分别为r₁、r₂，圆心距|O₁O₂|=2，动圆C与圆O₁、O₂都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则(e1+e2)/(e1e2)的值为（　　）

A．r₁+r₂
B．r₁和r₂中的较大者
C．r₁和r₂中的较小者
D．|r₁-r₂|

Answer 1

不妨设r₂＞r₁．
以线段O₁O₂的中点O为为坐标原点，直线O₁O₂为x轴建立直角坐标系．
①当动圆C与圆O₁、O₂都相外切时，|CO₂|-|CO₁|=r₂-r₁=2a，∴e1＝(1)/(a)=(2)/(r2−r1)，∴(1)/(e1)＝(r2−r1)/(2)．
②当动圆C与圆O₁相外切而与O₂相内切时，|CO₁|-|CO₂|=r₁+r₂=2a′，
∴e2＝(2)/(r1+r2)，∴(1)/(e2)＝(r1+r2)/(2)．
∴(e1+e2)/(e1e2)=(1)/(e1)+(1)/(e2)=(r2−r1)/(2)+(r2+r1)/(2)=r₂．
∴(e1+e2)/(e1e2)的值为r₂和r₁中较大的一个．
故选：B．